Question

在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别是D₁D，BD的中点，G在棱CD上，且，H为C₁G的中点，应用空间向量方法求解下列问题．
（1）求证：EF⊥B₁C；
（2）求EF与C₁G所成的角的余弦；
（3）求FH的长．

Answer 1

【答案】分析：（1）建立空间直角坐标系，可求出 ，，再利用向量数量积的坐标计算可得 =0即可证得EF⊥B₁C．
（2）由（1）知，，从而可计算相应的模与数量积，利用向量的数量积的坐标公式，可求EF与C₁G所成角的余弦值；
（3）分别表示出F，H的坐标，从而可求向量FH的模，进而可得FH的长．
解答：解：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz．
则E（），   
（1）∵，
∵
（2）由（1）知…（4分）
∴，…（5分）
…（6分）
…（7分）
∴
故EF与C₁G所成角的余弦值为．…（8分）
（3）∵H为C₁G的中点
∴
∵
∴=
∴…（10分）
点评：本题以正方体为载体，主要考查线线垂直的证明和线线角的求解．解题的关键是建立空间直角坐标系，利用空间向量求解立体几何问题．