Question

【题目】已知函数f（x）=lnx﹣a（x﹣1），g（x）=ex ．
（1）当a=2时，求函数f（x）的最值；
（2）当a≠0时，过原点分别作曲线y=f（x）与y=g（x）的切线l1 ， l2 ， 已知两切线的斜率互为倒数，证明： ＜a＜ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：当a=2时，f（x）=lnx﹣2（x﹣1）的定义域为（0，+∞），

f′（x）= ﹣2= ；

当x∈（0， ）时，f′（x）＞0，当x∈（ ，+∞）时，f′（x）＜0，

即函数f（x）在（0， ）上单调递增，在（ ，+∞）上单调递减．

所以f（x）max=f（ ）=1﹣ln2，没有最小值

（2）解：证明：设切线l2的方程为y=k2x，切点为（x2，y2），则y2= ，

k2=g′（x2）= = ，

所以x2=1，y2=e，则k2=e．

由题意知，切线l1的斜率为k1= = ，l1的方程为y= x；

设l1与曲线y=f（x）的切点为（x1，y1），则k1=f′（x1）= ﹣a= = ，

所以y1= =1﹣ax1，a= ﹣ ．

又因为y1=lnx1﹣a（x1﹣1），消去y1和a后，

整理得lnx1﹣1+ ﹣ =0．

令m（x）=lnx﹣1+ ﹣ =0，

则m′（x）= ﹣ = ，m（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．

若x1∈（0，1），因为m（ ）=﹣2+e﹣ ＞0，m（1）=﹣ ＜0，所以x1∈（ ，1），

而a= ﹣ 在x1∈（ ，1）上单调递减，所以 ＜a＜ ．

若x1∈（1，+∞），因为m（x）在（1，+∞）上单调递增，且m（e）=0，则x1=e，

所以a= ﹣ =0（舍去）．

综上可知， ＜a＜

【解析】（1）当a=2时，f（x）=lnx﹣2（x﹣1）的定义域为（0，+∞），再利用导数求函数的单调区间，从而求解函数的最值；（2）设切线l2的方程为y=k2x，从而由导数及斜率公式可求得切点为（1，e），k2=e；再设l1的方程为y= x；设l1与曲线y=f（x）的切点为（x1 ， y1），从而可得y1= =1﹣ax1 ， a= ﹣ ；结合y1=lnx1﹣a（x1﹣1）可得lnx1﹣1+ ﹣ =0，再令m（x）=lnx﹣1+ ﹣ ，从而求导确定函数的单调性，从而确定 ＜a＜ ，问题得证．
【考点精析】本题主要考查了函数的最大(小)值与导数的相关知识点，需要掌握求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值才能正确解答此题．