Question

【题目】已知函数f（x）＝x2＋2mx＋2lnx，m∈R．

（1）探究函数f（x）的单调性；

（2）若关于x的不等式f（x）≤2＋3x2在（0，＋∞）上恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）当时，函数在上单调递增；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减；（2）.

【解析】

（1）求出，分两种情况讨论的范围，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（2）题中不等式等价于，，设，利用导数研究函数的单调性，可得为的极小值点，即，从而可得结果.

（1）依题意，，，

若，则，故，故函数在上单调递增；

当时，令，解得；

若，则，，故函数在上单调递增；

若，则当时，，当时，，当时，；

综上所述：当时，函数在上单调递增；

当时，函数在和上单调递增，在上单调递减.

（2）题中不等式等价于，即，

因此，

设，

则，

，

当时，，即，单调递减；

当时，，即，单调递增；

因此为的极小值点，

即，

故，

故实数m的取值范围为.