某校学生社团心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中,发现其注意力指数p与听课时间t之间的关系满足如图所示的曲线.当t∈(0,14]时,曲线是二次函数图象的一部分,当t∈[14,40]时,曲线是函数y=loga(t-5)+83(a>0且a≠1)图象的一部分.根据专家研究,当注意力指数p大于等于80时听课效果最佳.
(1)试求p=f(t)的函数关系式.
(2)老师在什么时段内安排核心内容能使得学生听课效果最佳?请说明理由.
解:(1)t∈(0,14]时,
设p=f(t)=c(t-12)2+82(c<0),将(14,81)代入得c=-,
t∈(0,14]时,p=f(t)=-(t-12)2+82;t∈[14,40]时,将(14,81)代入y=loga(t-5)+83,得a=,
所以p=f(t)=
(2)t∈(0,14]时,由-(t-12)2+82≥80,
解得12-2≤t≤12+2,
所以t∈[12-2,14],
t∈(14,40]时,由lo(t-5)+83≥80,解得5<t≤32,
所以t∈(14,32],综上t∈[12-2,32],
即老师在t∈[12-2,32]时段内安排核心内容能使得学生听课效果最佳.
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已知函数f(x)=|lg x|.若0<a<b,且f(a)=f(b),则a+2b的取值范围是( )
(A)(2,+∞) (B)[2,+∞)
(C)(3,+∞) (D)[3,+∞)
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已知函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),且f(x)是偶函数,当x∈[0,1]时,f(x)=x2.若在区间[-1,3]内,函数g(x)=f(x)-kx-k有4个零点,则实数k的取值范围为 .
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设f(x)=3ax2+2bx+c,若a+b+c=0,f(0)>0,f(1)>0,求证:
(1)a>0且-2<<-1;
(2)函数y=f(x)在(0,1)内有两个零点.
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如图,有一直角墙角,两边的长度足够长,在P处有一棵树与两墙的距离分别是am(0<a<12),4 m,不考虑树的粗细,现在用16 m长的篱笆,借助墙角围成一个矩形的花圃ABCD.设此矩形花圃的面积为S m2,S的最大值为f(a),若将这棵树围在花圃内,则函数u=f(a)的图象大致是( )
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某地近年来持续干旱,为倡导节约用水,该地采用了“阶梯水价”计费方法,具体方法:每户每月用水量不超过4吨的每吨2元;超过4吨而不超过6吨的,超出4吨的部分每吨4元;超过6吨的,超出6吨的部分每吨6元.
(1)写出每户每月用水量x(吨)与支付费用y(元)的函数关系;
(2)该地一家庭记录了去年12个月的月用水量(x∈N*)如表:
月用水量x(吨) | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
频数 | 1 | 3 | 3 | 3 | 2 |
请你计算该家庭去年支付水费的月平均费用(精确到1元);
(3)今年干旱形势仍然严峻,该地政府号召市民节约用水,如果每个月水费不超过12元的家庭称为“节约用水家庭”,随机抽取了该地100户的月用水量作出如下统计表:
月用水量x(吨) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
频数 | 10 | 20 | 16 | 16 | 15 | 13 | 10 |
据此估计该地“节约用水家庭”的比例.
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