Question

【题目】已知函数．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若函数在区间上是单调递增函数，求实数的最大值；

（Ⅲ）若关于的方程在区间内有两个实数根，分别求实数与的取值范围．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）;（Ⅲ）,

【解析】

（Ⅰ）利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式化简，代入即可．
（Ⅱ）根据三角函数的图象与性质求得函数的增区间，进而确定的范围．
（Ⅲ）把方程的根的问题转化为两函数图象交点的问题，确定的范围，根据函数的对称，求得的值，进而表示出的表达式，利用二次函数的性质确定其范围．

（Ⅰ）∵

∴

（Ⅱ）由

得

∴在区间上是增函数

∴当时，在区间上是增函数

若函数在区间上是单调递增函数，则

∴， 解得

∴的最大值是

（Ⅲ）方程在区间内有两实数根等价于

直线与曲线（）有两个交点.

∵当时， 由（Ⅱ）知在上是增函数，在上是减函数， 且

∴

即实数的取值范围是

∵函数的图象关于对称

∴.

∵，∴.

∴.

∵函数在内递增

∴

∴

的取值范围为.