Question

如图，设F(－c,0)是椭圆的左焦点，直线l：x＝－与x轴交于P点，MN为椭圆的长轴，已知|MN|＝8，且|PM|＝2|MF|。

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过点P的直线m与椭圆相交于不同的两点A,B。
①证明：∠AFM＝∠BFN；
②求△ABF面积的最大值。

Answer 1

（Ⅰ）椭圆的标准方程为；（Ⅱ）①详见解析；②．

试题分析：（Ⅰ）求椭圆的标准方程，只需利用待定系数法来求，由，知，由，得，将代入，可求出的值，从而得的值，由此能求出椭圆的标准方程．（Ⅱ）①证明：，只需证明即可，这是直线与二次曲线位置关系问题，可采用设而不求的方法，因此当的斜率为0时，，满足题意．当的斜率不为０时，可设直线的方程为，代入椭圆方程得，设出，有根与系数关系，及斜率公式可得，从而得到．故恒有；②求△ABF面积的最大值，由图可知，由基本不等式，能求出三角形ABF面积的最大值．
试题解析：（Ⅰ）∵|MN|＝8, ∴a＝4，                                 (1分)
又∵|PM|＝2|MF|，∴e＝，                     (2分)
∴c＝2,b²＝a²－c²＝12，
∴椭圆的标准方程为                   (3分)
（Ⅱ）①证明：
当AB的斜率为0时，显然∠AFM＝∠BFN＝0，满足题意；    (4分)
当AB的斜率不为0时，设AB的方程为x＝my－8，
代入椭圆方程整理得(3m²＋4)y²－48my＋144＝0.              (5分)
△＝576(m²－4),   y_A＋y_B＝,    y_Ay_B＝.
则
,
而2my_Ay_B－6(y_A＋y_B)＝2m·－6·＝0，       (7分)
∴k_AF＋k_BF＝0，从而∠AFM＝∠BFN.
综合可知：对于任意的割线PAB，恒有∠AFM＝∠BFN.        (8分)
②方法一：
S_△ABF＝S_△PBF－S_△PAF         (10分)
即S_△ABF＝，    (12分)
当且仅当，即m＝±时（此时适合于△＞0的条件）取到等号。
∴△ABF面积的最大值是3.                             (13分)
方法二：

点F到直线AB的距离                 (10分)

，                    (12分)
当且仅当，即m＝±时取等号。       (13分)