Question

【题目】如图，一块弓形余布料EMF，点M为弧的中点，其所在圆O的半径为4 dm（圆心O在弓形EMF内），∠EOF=．将弓形余布料裁剪成尽可能大的矩形ABCD(不计损耗)， AD∥EF，且点A、D在弧上，设∠AOD=．

（1）求矩形ABCD的面积S关于的函数关系式；

（2）当矩形ABCD的面积最大时，求cos的值．

Answer 1

【答案】(1) (2) cosθ＝

【解析】试题分析： 分类讨论，求出,可得矩形的面积与关于的函数解析式。

求导确定函数的单调性，即可求的值。

解析：(1) 设矩形铁片的面积为S，∠AOM＝θ.

当0＜θ＜ 时(如图1)，AB＝4cosθ＋2，AD＝2×4sinθ，

S＝AB×AD＝ (4cosθ＋2)(2×4sinθ)＝16sinθ(2cosθ＋1)．

当≤θ＜时(如图2)，AB＝2×4cos θ，AD＝2×4sin θ，

故S＝AB×AD＝64sinθcosθ＝32sin 2θ.

综上得，矩形铁片的面积S关于θ的函数关系式为

(2) 当0＜θ＜时，求导，得S′＝16[cosθ(2cosθ＋1)＋sinθ(－2sinθ)]

＝16(4cos2 θ＋cos θ－2)．

令S′＝0，得cosθ＝. 记区间内余弦值等于的角为θ0(唯一存在)，

列表：

θ	(0，θ0)	θ0
S′	＋	0	－
S		极大值

又当≤θ＜时，S＝32sin2θ是单调减函数，所以当θ＝θ0，即cosθ＝ 时，矩形铁片的面积最大．