Question

已知双曲线的中心在原点,右顶点为A(1,0),点P、Q在双曲线的右支上,点M(m,0)到直线AP的距离为1.

(1)若直线AP的斜率为k,且|k|∈［,］,求实数m的取值范围;

(2)当m=+1时,△APQ的内心恰好是点M,求此双曲线的方程.

Answer 1

解：(1)由条件得直线AP的方程y=k(x-1),即kx-y-k=0,

因为点M到直线AP的距离为1,

∴=1,即|m-1|==.

∵|k|∈［,］,

∴≤|m-1|≤2.

解得+1≤m≤3或-1≤m≤1-.

∴m的取值范围是［-1,1-］∪［1+,3］.

(2)可设双曲线方程为x²-=1(b≠0),

由M(+1,0),A(1,0)得|AM|=.

又因为M是△APQ的内心,M到AP的距离为1,

所以∠MAP=45°,直线AM是∠PAQ的角平分线,且M到AQ、PQ的距离均为1.

因此k_AP=1,k_AQ=-1(不妨设P在第一象限),直线PQ的方程为x=2+,

直线AP的方程为y=x-1.

∴解得P的坐标是(2+,1+).

将P点坐标代入x²-=1得b²=,

所以所求双曲线方程为x²-y²=1,

即x²-(2-1)y²=1.