Question

（本小题满分13分）

已知数列{}满足,

（I）写出,并推测的表达式；

（II）用数学归纳法证明所得的结论。

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ) ＝, ＝, ＝,    猜测  。(Ⅱ)见解析。

【解析】

试题分析： （1）根据数列的前几项来归纳猜想得到结论。

（2）在第一问的基础上，进一步运用数学归纳法来加以证明即可。

解： (Ⅰ) ＝, ＝, ＝,    猜测    （4分）  

    (Ⅱ) ①由（Ⅰ）已得当n＝1时，命题成立；        

②假设时,命题成立，即＝2－,       （6分）

那么当时, ＋＋……＋＋2＝2(k＋1)＋1,

且＋＋……＋＝2k＋1－  （8分）

∴2k＋1－＋2ak＋1＝2(k＋1)＋1＝2k＋3,

∴2＝2＋2－,  ＝2－,

即当n＝k＋1时,命题成立. 

根据①②得n∈N+  , ＝2－都成立    （13分）

考点：本题主要考查了数列的归纳猜想思想的运用。以及运用数学归纳法求证结论的成立与否。

点评：解决该试题的关键是猜想的正确性，以及和运用数学归纳法证明命题时，要注意假设的运用，推理论证得到证明。