Question

【题目】已知向量 ， 满足| |=3，| |=2| |，若| +λ |≥3恒成立，则实数λ的取值范围为 ．

Answer 1

【答案】（﹣∞,﹣ ）∪[ ,+∞）
【解析】解：设 ， = ，则 = ，

设| |=x，则|OA|=x，|AB|= ，

∴ ，解得2≤x≤6．

即2≤| |≤6．

∵| |=2| |，

∴ =4（9﹣2 + 2），即3 ﹣8 +36=0，

∴ = + ，

∵| +λ |≥3恒成立，

∴ +2λ（ + ）+9λ2≥9，

令f（ 2）=（1+ λ） 2+9λ+9λ2﹣9，则fmin（ ）≥0， ∈[4，36]．

（i）若1+ λ=0即λ=﹣ 时，f（ ）=9λ+9λ2﹣9=﹣5，不符合题意；

（ii）若1+ ＞0即λ＞﹣ 时，f（ ）为增函数，故fmin（ ）=f（4）=9λ2+12λ﹣5≥0，

解得λ 或λ≤﹣ ，∴λ≥ ．

（iii）若1+ ＜0即λ＜﹣ 时，f（ ）为减函数，故fmin（ ）=f（36）=9λ2+36λ+27≥0，

解得λ≤1或λ≥3．∴λ＜﹣ ．

综上，λ＜﹣ 或λ ．

所以答案是：（﹣∞，﹣ ）∪[ ，+∞）．