Question

【题目】已知数列{bn}是等差数列，b1=1，b1+b2+…+b10=100．
（1）求数列{bn}的通项bn；
（2）设数列{an}的通项an=loga（1+ ），a＞0，且a≠1，记Sn是数列{an}的前n项的和．试比较Sn与 logabn+1的大小，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】
（1）解：设数列{bn}的公差为d，由题意得：b1=1，

10b1+ =100．

解得 ，

∴bn=1+2（n1﹣）=2n﹣1．

（2）解：an=loga（1+ ）= = ，a＞0，且a≠1，

Sn=loga（1+1）+ +…+

= ．

logabn+1= = ．

可先比较（1+1）（1+ ）…（1+ ）与 的大小．

取n=1，有（1+1）＞ ；

取n=2，有（1+1）（1+ ）＞ ．

由此推测：（1+1）（1+ ）…（1+ ）＞ …①

下面用数学归纳法证明①式：

（i）当n=1时，已验证①式成立．

（ii）假设当n=k （k≥1）时，①式成立，即

（1+1）（1+ ）…（1+ ）＞ ，

那么，当n=k+1时，（1+1）（1+ ）…（1+ ）（1+ ）

＞ （1+ ）= （2k+2）

∵[ （2k+2）]2﹣[ ]2

= = ＞0，

∴ （2k+2）＞ =

因而 （1+1）（1+ ）…（1+ ）（1+ ）＞ ．

这就是说①式，当n=k+1时也成立．

由（i），（ii）知，①式对任何正整数n都成立．

利用函数y=logax的单调性，得结论：

当a＞1时，Sn＞ logabn+1；

当0＜a＜1时，Sn＜ logabn+1．

或利用 = ＞ ，证明 … ＞ ，即可证明．

【解析】（1）利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；（2）an=loga（1+ ）= = ，a＞0，且a≠1，Sn= ． logabn+1= ．可先比较（1+1）（1+ ）…（1+ ）与 的大小．猜想：（1+1）（1+ ）…（1+ ）＞ ，利用数学归纳法证明即可得出．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用等差数列的通项公式（及其变式）和数列的前n项和的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握通项公式：或；数列{an}的前n项和sn与通项an的关系．