Question

【题目】如图，三棱锥中，底面是边长为2的正三角形， ， .

（1）求证：平面平面；

（2）若，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）．

【解析】试题分析：（1）通过证明线面垂直，由面面垂直的判定定理，得出面面垂直；（2）先作出二面角的平面角，再证明，再由余弦定理求出二面角的余弦值。

试题解析：（1）取AC的中点O，连接BO，PO.

因为ABC是边长为2的正三角形，所以BO⊥AC，BO=.

因为PA⊥PC，所以PO=.

因为PB=2，所以OP2+OB2==PB2，所以PO⊥OB.

因为AC，OP为相交直线，所以BO⊥平面PAC.

又OB平面ABC，所以平面PAB⊥平面ABC．

（2）因为PA=PB，BA=BC，所以≌.

过点A作于D，则.

所以为所求二面角A﹣PB﹣C 的平面角.

因为PA=PC，PA⊥PC，AC=2，所以.

在中，求得，同理.

在中，由余弦定理，得.

所以，二面角A﹣PB﹣C的余弦值为．