Question

【题目】如图，在几何体中，平面平面，四边形为菱形，且， ， ∥， 为中点．

（Ⅰ）求证： ∥平面；

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；

（Ⅲ）在棱上是否存在点，使 ？ 若存在，求的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）（3）

【解析】试题分析：（Ⅰ）取 中点，连结，利用面面平行平面∥平面，得到线面平行∥平面；（Ⅱ）取中点，连结， ，先证两两垂直，故可以为原点， 为轴，建立空间直角坐标系，求出的方向向量，面的法向量，利用可得结果；（Ⅲ）设是上一点，且，根据共线可得的坐标，结合数量积为0，可得结果.

试题解析：（Ⅰ）

取 中点，连结．

因为分别为中点，所以∥．

又平面且平面，所以∥平面，

因为∥， ，所以∥， ．

所以四边形为平行四边形．所以∥．

又平面且平面，所以∥平面，

又，所以平面∥平面．

又平面，所以∥平面．

（Ⅱ）

取中点，连结， ．因为，所以．

因为平面平面，所以平面， ．

因为， ，所以△为等边三角形．

因为为中点，所以．

因为两两垂直，设，以为原点， 为轴，如图建立空间直角坐标系，由题意得， ， ， ， ，

， ， ， ， ．

设平面的法向量为，则即

令，则， ．所以．

设直线与平面成角为，

所以直线与平面所成角的正弦值为．

（Ⅲ）设是上一点，且， ，因此点．

．由，解得．

所以在棱上存在点使得 ，此时．