Question

【题目】已知函数， ，.

（Ⅰ）判断直线能否与曲线相切，并说明理由；

（Ⅱ）若不等式有且仅有两个整数解，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.

【解析】试题分析：（Ⅰ）假设直线与曲线相切，设出切点坐标，根据导数的几何意义，化简可得，根据切点既在曲线上又在切线上化简可得,

两者联立消去将题意转化为,令,确定其在内有零点即可；（Ⅱ）将转化为，令，利用导数研究单调性证明恒成立，分为， 不符合题意，当时，只需满足解出即可.

试题解析：（Ⅰ）假设存在这一的实数使得的图象与相切，设切点为，

由可知，，即①

又函数的图象过定点（1,0），因此，即②

联立①、②消去有.

设，则，所以在上单调递增，

而，，，故存在，使得.

所以存在直线能与曲线相切.

（Ⅱ）由得.

令，则.

令，则，所以在上单调递增，

又，，所以在上有唯一零点，，

此时在上单调递减，在上单调递增.

∴，

易证，.

当时，；当时，.

（1）若，则，此时有无穷多个整数解，不合题意；

（2）若，即，因为在上单调递减，在上单调递增，

所以时，，所以无整数解，不合题意；

（3）若，即，此时，故0,1是的两个整数解，

又只有两个整数解，因此，解得.

所以.