Question

如图，四面体中，、分别是、的中点，

（1）求证：平面；

（2）求直线与平面所成角的余弦值；

（3）求点到平面的距离。

 

Answer 1

【答案】

(1)证明：连结OC.

∵BO=DO,AB=AD, ∴AO⊥BD.∵BO=DO,BC=CD, ∴CO⊥BD.

在△AOC中，由已知可得AO=1,CO=.

而AC=2,∴AO²+CO²=AC^2,∴∠AOC=90°,即AO⊥OC.

∴AB平面BCD.

（Ⅱ）解：取AC的中点M,连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知ME∥AB,OE∥DC.

∴直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角.

在△OME中，

是直角△AOC斜边AC上的中线，∴

∴∴异面直线AB与CD所成角的余弦值为

（Ⅲ）解：设点E到平面ACD的距离为h.

,  ∴·S_△ACD =·AO·S_△CDE.

在△ACD中，CA=CD=2,AD=,∴S_△ACD=

而AO=1, S_△CDE=∴h=

∴点E到平面ACD的距离为.

方法二：（Ⅰ）同方法一：

（Ⅱ）解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则B(1，0，0)，D(-1，0，0)，

C(0，，0)，A(0,0,1),E(,,0), 

∴

∴异面直线AB与CD所成角的余弦值为

（Ⅲ）解：设平面ACD的法向量为n=(x,y,z),则   

   ∴

令y=1，得n=(-)是平面ACD的一个法向量.   又

∴点E到平面ACD的距离 h=

 

【解析】略