Question

定义在[-1，1]上的奇函数f（x）满足f（1）=1，且当a、b∈[-1，1]，a+b≠0时，有

f(a)+f(b)

a+b

＞0．
（1）证明：f（x）是[-1，1]上的增函数；
（2）若f（x）≤m²+2am+1对所有的x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用函数单调性的定义进行证明：在区间[-1，1]任取x₁、x₂，且x₁＜x₂，利用函数为奇函数的性质结合已知条件中的分式，可以证得f（x₁）-f（x₂）＜0，所以
函数f（x）是[-1，1]上的增函数．
（2）根据函数f（x）≤m²+2am+1对所有的x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，说明f（x）的最大值1小于或等于右边，因此先将右边看作a的函数，m为参数系数，解不等式组，即可得出m的取值范围．

解答：解：（1）任取x₁、x₂∈[-1，1]，且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）
∵

f(x1)+f(-x2)

x1+(-x2)

＞0，
即

f(x1)+f(-x2)

x1+(-x2)

[x1+(-x2)]（2分）
∵x₁+（-x₂）＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0．
则f（x）是[-1，1]上的增函数． （5分）
（2）要使f（x）≤m²+2am+1对所有的x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，
只须f（x）_max≤m²+2am+1，即1≤m²+2am+1对任意的a∈[-1，1]恒成立，
亦即m²+2am≥0对任意的a∈[-1，1]恒成立．令g（a）=2ma+m²，
只须

g(-1)=-2m+m2≥0 g(1)=2m+m2≥0

，
解得m≤-2或m≥2或m=0，即为所求．       （12分）

点评：本题考查了抽象函数的单调性与函数的值域、不等式恒成立等知识点，属于中档题，解题时应该注意题中的主元与次元的处理．