Question

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，各棱长都等于2a，下底面ABC在水平面上保持不动，在侧棱与底面所成的角保持为60°的情况下，上底面A₁B₁C₁还是可以移动的，则△A₁B₁C₁在下底面ABC所在平面上的竖直投影所扫过的区域的面积为

(6+

3

+π)a2

．

Answer 1

分析：由已知中三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，各棱长都等于2a，下底面ABC在水平面上保持不动，又由侧棱与底面所成的角为60°，我们可以分析出△A₁B₁C₁在下底面ABC所在平面上的竖直投影所扫过的区域的形状，进而求出其面积．

解答：解：∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，各棱长都等于2a，
当下底面ABC在水平面上保持不动，
且侧棱与底面所成的角为60°时，
△A₁B₁C₁在下底面ABC所在平面上的竖直投影所扫过的区域如下图所示：

由图可知该区域有一个边长为2a的正三角形，三个两边长分别为2a，a的矩形，和三个半径为a，圆心角为120°的扇形组成
其面积S=

3

4

•（2a）²+3•（2a）•a+π•a²=(6+

3

+π)a2
故答案为：(6+

3

+π)a2

点评：本题考查的知识点是棱柱的结构特征，线面夹角，其中根据侧棱与底面的夹角，则上顶点在下底面上的投影是一个以下顶点为圆心，以a为半径的圆，进而画出△A₁B₁C₁在下底面ABC所在平面上的竖直投影所扫过的区域的形状，是解答本题的关键．