Question

已知函数f（x）=blnx，g（x）=ax²-x（a∈R）．
（1）若曲线f（x）与g（x）在公共点A（1，0）处有相同的切线，求实数a、b的值；
（2）当b=1时，若曲线f（x）与g（x）在公共点P处有相同的切线，求证：点P唯一；
（3）若a＞0，b=1，且曲线f（x）与g（x）总存在公切线，求正实数a的最小值．

Answer 1

分析：（1）因为曲线f（x）与g（x）在公共点A（1，0）处有相同的切线，所以

f(1)=0 g(1)=0 f′(1)=g′(1)

，解出即可；
（2）设P（x₀，y₀），由题设得f（x₀）=g（x₀），f′（x₀）=g（x₀），转化为关于x₀的方程只有一解，进而构造函数转化为函数只有一个零点，利用导数即可证明；
（3）设曲线f（x）在点（t，lnt）处的切线方程为y-lnt=

1

t

(x-t)，则只需使该切线与g（x）相切即可，也即方程组

y-lnt= 1 t (x-t) y=ax2-x

只有一解即可，所以消y后△=0，问题转化关于t的方程总有解，分情况借助导数进行讨论即可求得a值；

解答：解：（1）f′(x)=

b

x

，g'（x）=2ax-1．
∵曲线f（x）与g（x）在公共点A（1，0）处有相同的切线，
∴

f(1)=bln1=0 g(1)=a-1=0 b=2a-1

，解得，

a=1 b=1

．     
（2）设P（x₀，y₀），则由题设有lnx0=a

x

2 0

-x0…①，
又在点P有共同的切线，∴f′(x0)=g′(x0)⇒

1

x0

=2ax0-1⇒a=

1+x0

2 x 2 0

，
代入①得 lnx0=

1

2

-

1

2

x0，
设h(x)=lnx-

1

2

+

1

2

x，则h′(x)=

1

x

+

1

2

 (x＞0)，则h′（x）＞0，
∴h（x）在（0，+∞）上单调递增，所以 h（x）=0最多只有1个实根，
从而，结合（1）可知，满足题设的点P只能是P（1，0）．
（3）当a＞0，b=1时，f（x）=lnx，f′(x)=

1

x

，
曲线f（x）在点（t，lnt）处的切线方程为y-lnt=

1

t

(x-t)，即y=

1

t

x+lnt-1．
由

y= 1 t x+lnt-1 y=ax2-x

，得 ax2-(1+

1

t

)x-lnt+1=0．
∵曲线f（x）与g（x）总存在公切线，∴关于t（t＞0）的方程△=(1+

1

t

)2+4a(lnt-1)=0，
即(1+

1

t

)2=4a(1-lnt)（*）总有解．                           
若t＞e，则1-lnt＜0，而(1+

1

t

)2＞0，显然（*）不成立，所以 0＜t＜e，
从而，方程（*）可化为 4a=

(1+t)2

t2(1-lnt)

．
令h(t)=

(1+t)2

t2(1-lnt)

（0＜t＜e），则h′(t)=

(1+t)(2lnt+t-1)

t3(1-lnt)2

．
∴当0＜t＜1时，h'（t）＜0；当1＜t＜e时，h'（t）＞0，即 h（t）在（0，1）上单调递减，在（1，e）上单调递增．
∴h（t）在（0，e）上的最小值为h（1）=4，
所以，要使方程（*）有解，只须4a≥4，即a≥1． 
所以正实数a的最小值为1．

点评：本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程问题，考查学生综合运用所学知识分析问题解决问题能力，本题综合性强，难度大．