Question

已知圆C与两坐标轴的正半轴都相切，圆心C到直线y=-x的距离等于．
（1）求圆C的方程；
（2）若直线（m＞2，n＞2）与圆C相切，求mn的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意设出圆的方程，利用圆心C到直线y=-x的距离等于．求出圆心坐标，得到圆的方程．
（2）根据直线和圆相切可得 ，化简可得 ，再由基本不等式可得 ，解得 ，从而得到 ．
解答：解：（1）因为圆C与两坐标轴的正半轴都相切，圆心在y=x（x＞0），
设圆C方程为（x-a）²+（y-a）²=a²，圆心C到直线y=-x的距离等于，
所以，a=1．
∴圆C方程为（x-1）²+（y-1）²=1．
 （2）直线l方程化为为nx+my-mn=0，∵直线l与圆C：（x-1）²+（y-1）²=1相切，∴，
∴（n+m-mn）²=n²+m²，左边展开，整理得，mn=2m+2n-2．∴．
∵，∴，当且仅当m=n时成立．
∴，
∴．∵m＞2，n＞2，∴，
∴，此时m=n=．
mn的最小值为：．
点评：本题考查圆的标准方程，注意圆心的位置；考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，基本不等式的应用，得到 是解题的关键．