Question

【题目】已知两定点，点是平面内的动点，且,记的轨迹是

（1）求曲线的方程；

（2）过点引直线交曲线于两点，设，点关于轴的对称点为，证明直线过定点.

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】

设，根据条件列方程化简即可；（2）先探究特殊性，当点Q为椭圆的上顶

点（0，）时，直线RN过定点P(4,0).再讨论一般情形，设直线l:点R,N,P三点共线，因此直线RN经过定点P(4,0).

（1）设，，，

则，，

由于，

即，设，，

则，点的轨迹是以，为焦点的椭圆，

故，，，

所以，动点的轨迹的方程为：．

如图所示，

先探究特殊性，当点Q为椭圆的上顶点（0，）时，直线l:,

联立直线和椭圆方程得,

直线RN:令y=0,得x=4,

所以直线RN过定点P(4,0).

下面证明一般情形：

设直线l:

联立，

判别式

所以

即，

设，于是，

，

又，

解得，

所以，

所以点R,N,P三点共线，因此直线RN经过定点P(4,0).

综上，直线RN经过定点P(4,0).