Question

【题目】已知函数，

（1）当，时，求函数在上的最小值；

（2）若函数在与处的切线互相垂直，求的取值范围；

（3）设，若函数有两个极值点，，且，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）

【解析】

（1）求导后可得函数的单调性，从而得到；（2）利用切线互相垂直可知，展开整理后可知关于的方程有解，利用可得关于的不等式，解不等式求得结果；（3）根据极值点的定义可得：，，从而得到且，进而得到，令，利用导数可证得，从而得到所求范围.

（1）当，时，，

则

当时，；当时，

在上单调递减；在上单调递增

（2）由解析式得：

，

函数在与处的切线互相垂直

即：

展开整理得：

则该关于的方程有解

整理得：，解得：或

（3）当时，

是方程的两根 ，

且， ，

令，则

在上单调递增

即：