Question

设点P与正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的三条棱AD、BC、C₁D₁所在直线的距离相等，则点P的轨迹是（ ）
A．圆
B．椭圆
C．双曲线
D．抛物线

Answer 1

【答案】分析：设AB的中点为E，CD的中点为F，过EF做一个平面EFMN与BC平行，M∈C₁D₁，N∈A₁B₁，故平面EFMN内的点到AD和BC的距离相等．PM为P到C₁D₁ 的距离．根据P到BC的距离等于P到点M的距离，可得点P的轨迹．
解答：解：由题意可得AD和BC平行且相等，设AB的中点为E，CD的中点为F，过EF做一个平面EFMN与BC平行，
且M∈C₁D₁，N∈A₁B₁，则平面EFMN与AD也平行，故平面EFMN内的点到AD和BC的距离相等．
由正方体的性质可得平面EFMN垂直于平面CDD₁C₁，故有 D₁C₁垂直于平面EFMN，
故PM为P到C₁D₁ 的距离．
由此可得P到BC的距离等于P到点M的距离，故点P的轨迹是抛物线，
故选D．
点评：本题主要考查抛物线的定义的应用，属于基础题．