Question

设数列{b_n}的前n项和为S_n，且b_n=2-2S_n；数列{a_n}为等差数列，且a₅=14，a₇=20．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）若c_n=a_n•b_n（n=1，2，3…），T_n为数列{c_n}的前n项和．求T_n．

Answer 1

分析：（1）由已知条件b_n=2-2S_n；当n=1时先求出b1=

2

3

，再利用b_n-b_n-1=-2（S_n-S_n-1）=-2bn

bn

bn-1

=

1

3

得到{b_n}是以b1=

2

3

为首项，

1

3

为公比的等比数列，利用等比数列的通项公式求出通项．
（2）求出cn=an•bn=2(3n-1)•

1

3n

，是一个等差数列与一个等比数列的乘积，所以利用错位相减的方法求出和．

解答：解：（1）由b_n=2-2S_n，令n=1，则b₁=2-2S₁，又S₁=b₁
所以b1=

2

3

…（2分）
当n≥2时，由b_n=2-2S_n，可得b_n-b_n-1=-2（S_n-S_n-1）=-2b_n
即

bn

bn-1

=

1

3

…（4分）
所以{b_n}是以b1=

2

3

为首项，

1

3

为公比的等比数列，
于是bn=2•

1

3n

…（6分）
（2）数列{a_n}为等差数列，公差d=

1

2

(a7-a5)=3，可得a_n=3n-1…（7分）
从而cn=an•bn=2(3n-1)•

1

3n

∴Tn=2[2•

1

3

+5•

1

32

+8•

1

33

+…+(3n-1)•

1

3n

]，

1

3

Tn=2[2•

1

32

+5•

1

33

+…+(3n-4)•

1

3n

+(3n-1)•

1

3n+1

]∴

2

3

Tn=2[2•

1

3

+3•

1

32

+3•

1

33

+…+3•

1

3n

-(3n-1)

1

3n+1

]…（11分）Tn=

7

2

-

1

2•3n-2

-

3n-1

3n

．…（12分）

点评：求一个数列的前n项和，应该先求出数列的通项，根据通项的特点选择合适的求和方法．