Question

已知圆O：x²+y²=1，圆O₁：（x-acosθ）²+（y-bsinθ）²=1（a、b为常数，θ∈R）对于以下命题，其中正确的有

 

．
①a=b=1时，两圆上任意两点距离d∈[0，1]
②a=4，b=3时，两圆上任意两点距离d∈[1，6]
③a=b=1时，对于任意θ，存在定直线l与两圆都有公共点
④a=4，b=3时，对于任意θ，存在定直线l与两圆都有公共点．

Answer 1

分析：由已知条件知两圆中一个是原点为圆心，半径是1的圆，另一个是圆为（acosθ，bsinθ）半径是1的圆，由此根据四个命题的题面，进行它们的正误，找出正确命题

解答：解：①a=b=1时，两圆上任意两点距离d∈[0，1]，此命题不正确，当a=b=1时，可求得两圆心之间的距离是1，且动圆的圆心在定圆上，故两圆相交，由此知，两圆上任意两点之间的距离最小值是0，最大值是两圆的连心线与两圆的交点中距离较远的两点，它们的距离是3，故两圆上任意两点距离d∈[0，1]，不正确；
②a=4，b=3时，两圆上任意两点距离d∈[1，6]，此命题正确，因为a=4，b=3时可求得两圆距离是

7cos2θ+9

，其范围是[3，4]，又两圆半径是1，故最远两点间距离是6，最近两间距离是1，即两圆上任意两点距离d∈[1，6]；
③a=b=1时，对于任意θ，存在定直线l与两圆都有公共点，此命题正确，由于动圆过定圆的圆心，故过定圆圆心的任意一条直线都与两圆有公共点，由此知a=b=1时，对于任意θ，存在定直线l与两圆都有公共点正确；
④a=4，b=3时，对于任意θ，存在定直线l与两圆都有公共点．此命题不正确，由②的证明知，两圆没有公共点，故不可能找到一条直线当对于任意θ，存在定直线l与两圆都有公共点
综上知②③是正确命题
故答案为②③

点评：本题考查圆方程的应用，解答本题，关键是掌握圆方程的几何意义，由圆的方程找出圆的圆心与圆的半径来，且能根据这此量判断出两圆的位置关系，本题综合性强，比较抽象，判断时可以借助图象辅助理解判断．