Question

已知圆O：x²+y²=2交x轴于A，B两点，曲线C是以AB为长轴，离心率为

2

2

的椭圆，其左焦点为F．若P是圆O上一点，连接PF，过原点O作直线PF的垂线交椭圆C的左准线于点Q．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若点P的坐标为（1，1），求证：直线PQ与圆O相切；
（3）试探究：当点P在圆O上运动时（不与A、B重合），直线PQ与圆O是否保持相切的位置关系？若是，请证明；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）因为a=

2

，e=

2

2

，所以c=1，由此能得到椭圆C的标准方程．
（2）因为P（1，1），所以kPF=

1

2

，所以k_OQ=-2，所以直线OQ的方程为y=-2x．再由椭圆的左准线方程为x=-2，能够证明直线PQ与圆O相切．
（3）当点P在圆O上运动时，直线PQ与圆O保持相切．设P（x₀，y₀）（x0≠±

2

），则y₀²=2-x₀²，
所以kPF=

y0

x0+1

，kOQ=-

x0+1

y0

，所以直线OQ的方程为y=-

x0+1

y0

x，由此知直线PQ始终与圆O相切．

解答：解：（1）因为a=

2

，e=

2

2

，所以c=1（2分）
则b=1，即椭圆C的标准方程为

x2

2

+y2=1（4分）
（2）因为P（1，1），所以kPF=

1

2

，
所以k_OQ=-2，所以直线OQ的方程为y=-2x（6分）
又椭圆的左准线方程为x=-2，所以点Q（-2，4）（7分）
所以k_PQ=-1，又k_OP=1，所以k_OP⊥k_PQ=-1，即OP⊥PQ，
故直线PQ与圆O相切（9分）
（3）当点P在圆O上运动时，直线PQ与圆O保持相切（10分）
证明：设P（x₀，y₀）（x0≠±

2

），则y₀²=2-x₀²，
所以kPF=

y0

x0+1

，kOQ=-

x0+1

y0

，
所以直线OQ的方程为y=-

x0+1

y0

x（12分）
所以点Q（-2，

2x0+2

y0

）（13分）
所以kPQ=

y0- 2x0+2 y0

x0+2

=

y02-(2x0+2)

(x0+2)y0

=

-x02-2x0

(x0+2)y0

=-

x0

y0

，
又kOP=

y0

x0

，
所以k_OP⊥k_PQ=-1，即OP⊥PQ，故直线PQ始终与圆O相切（15分）

点评：本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要认真审题，注意公式的合理运用．