Question

已知函数f（x）=e^x
（Ⅰ） 函数f（x）在点P（x₀，f（x₀））处的切线过原点，求此切线方程；
（Ⅱ） 函数g（x）=e^x-kx+k-e，是否存在实数k，使g（x）≥0对任意的x∈R都成立？若有求出所有满足条件的k的值，若没有，说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）切线斜率k=f'（x₀），用点斜式可表示出切线方程，代入点（0，0）可得x₀=1，从而可得切线方程；
（Ⅱ）g（x）≥0对任意的x∈R都成立，等价于g（x）_min≥0，分k≤0，k＞0两种情况讨论，利用导数可求得g（x）_min，再构造函数利用导数研究函数的单调性，由单调性可求得k值；

解答：解：（Ⅰ）f'（x）=e^x，切线斜率k=ex0，
点P（x₀，f（x₀））处的切线方程为y-ex0=ex0(x-x0)，
把点（0，0）代入得x₀=1，
故此切线方程为y=ex；
（ II） g'（x）=e^x-k，
①当k≤0时，g'（x）＞0，g（x）递增，∵g（1）=0，不满足g（x）≥0对任意的x∈R恒成立．
②当k＞0时，有g'（x）=0得，x=lnk，
当x∈（-∞，lnk）时，g'（x）＜0，g（x）递减，当x∈（lnk，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）递增，
∴g（x）≥g（lnk）=2k-klnk-e≥0恒成立，
令φ（x）=2x-xlnx-e，（x＞0），则φ'（x）=1-lnx，
当x∈（0，e）时，φ'（x）＞0，?（x）递增，当x∈（e，+∞）时，φ'（x）＜0，?（x）递减，
∴φ（x）≤φ（e）=0，∴k=e．

点评：本题考查导数的几何意义、利用导数研究函数的最值及恒成立问题，考查转化思想，恒成立问题常转化为函数的最值问题解决．