Question

【题目】在平面直角坐标系中，定义为两点、的“切比雪夫距离”，又设点及上任意一点，称的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”，记作，给出四个命题，正确的是________.

①对任意三点、、，都有；

② 到原点的“切比雪夫距离”等于的点的轨迹是正方形；

③ 已知点和直线，则；

④ 定点、，动点满足，则点的轨迹与直线（为常数）有且仅有个公共点.

Answer 1

【答案】①②③④

【解析】

①讨论、、三点共线，以及不共线的情况，结合图象和新定义，即可判断；

②运用新定义，求得点的轨迹方程，即可判断；

③设点是直线上一点，且点，可得，讨论和的大小，可得距离，再由函数的性质，可得最小值；

④讨论点在坐标轴上和各个象限的情况，求得轨迹方程，即可判断.

①对任意三点、、，若它们共线，设、、，

如下图，结合三角形相似可得或，或，或，则；

若、或、对调，可得；

若、、不共线，且中为锐角或钝角，由矩形或矩形，

；

则对任意的三点、、，都有，命题①正确；

②到原点的“切比雪夫距离”等于的点，即为，若，则；

若，则，故所求轨迹是正方形，命题②正确；

③设点是直线上一点，且，可得，

由，解得，即有.

当时，取得最小值；

由，解得或，即有，

的取值范围是，无最值，

所以，、两点的“切比雪夫距离”的最小值为，命题③正确；

④定点、，动点，满足，

可得不在上，在线段间成立，可得，解得.

由对称性可得也成立，即有两点满足条件；

若在第一象限内，满足，即为，为射线，

由对称性可得在第二象限、第三象限和第四象限也有一条射线，

则点的轨迹与直线（为常数）有且仅有个公共点，命题④正确.

故答案为：①②③④.