C
分析：法一：先求不等式|x-3|+|x-4|的最大值，要求解集不是空集时实数a的取值范围，只要a大于不等式|x-3|+|x-4|的最大值即可．
法二：不等式的解集不是空集，只需a大于|x-3|+|x-4|的最小值即可，利用绝对值三角不等式可求它的最小值．
解答：法一：|x-3|+|x-4|的几何意义是数轴上的点x 到3和4的距离之和，
当x在3、4之间时，这个距离和最小，是1．其它情况都大于1
所以|x-3|+|x-4|≥1
如果不是空集，所以 a＞1
法二：∵|x-3|+|x-4|≥|（x-3）-（x-4）|=1，
∴（|x-3|+|x-4|）min=1
当a≤1时，|x-3|+|x-4|＜a的解集为∅，
所以a＞1．
故选C．
点评：此题考查了绝对值不等式的解法．表示出原不等式左边的最小值是解本题的关键．还考查绝对值不等式的放缩问题及函数的恒成立问题，这类题目是高考的热点，难度不是很大，要注意不等号进行放缩的方向．
