Question

【题目】已知点A(－2，0)，B(2，0)，过点A作直线l与以A，B为焦点的椭圆交于M，N两点，线段MN的中点到y轴的距离为，且直线l与圆x2＋y2＝1相切，则该椭圆的标准方程是________，过A点的椭圆的最短弦长为________.

Answer 1

【答案】

【解析】

根据题意，知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x＋2)，①

由题意设椭圆方程为＝1(a2＞4)，②

由直线l与圆x2＋y2＝1相切，得＝1，解得k2＝.将①代入②，得(a2－3)x2＋a2x－a4＋4a2＝0，设点M的坐标为(x1，y1)，点N的坐标为(x2，y2)，由根与系数的关系，得x1＋x2＝－，又线段MN的中点到y轴的距离为，所以|x1＋x2|＝，即－＝－，解得a2＝8.所以该椭圆的标准方程为.过A点的椭圆最短弦垂直于x轴，其长为2.故填,.