Question

已知幂函数f（x）=（-2m²+m+2）x^m+1为偶函数．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若函数y=f（x）-2（a-1）x+1在区间（2，3）上为单调函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据幂函数的性质即可求f（x）的解析式；
（2）根据函数y=f（x）-2（a-1）x+1在区间（2，3）上为单调函数，利用二次函数对称轴和区间之间的关系即可，求实数a的取值范围．

解答：解：（1）由f（x）为幂函数知-2m²+m+2=1，
即2m²-m-1=0，
得m=1或m=-

1

2

，
当m=1时，f（x）=x²，符合题意；
当m=-

1

2

时，f（x）=x

1

2

，为非奇非偶函数，不合题意，舍去．
∴f（x）=x²．
（2）由（1）得y=f（x）-2（a-1）x+1=x²-2（a-1）x+1，
即函数的对称轴为x=a-1，
由题意知函数在（2，3）上为单调函数，
∴对称轴a-1≤2或a-1≥3，
即a≤3或a≥4．

点评：本题主要考查幂函数的图象和性质，以及二次函数的单调性与对称轴之间的关系，要求熟练掌握幂函数和二次函数的图象和性质．