Question

（I）求函数的定义域；
（2）判断并证明函数f（x）=的奇偶性
（3）证明函数 f（x）= 在x∈[2，+∞）上是增函数，并求f（x）在[4，8]上的值域．

Answer 1

解：（Ⅰ）由得-1＜x≤，
∴求函数的定义域为：{  x|-1＜x≤}
（2）f（x）=x+为奇函数
证明：∵f（-x）=-x-=-（x+）=-f（x），
∴f（x）=x+为奇函数．
（3）证明：设2＜x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=x₁+-x₂-
=x₁-x₂-
=（x₁-x₂）（1-)
∵2＜x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞4，即0＜＜1．
∴1-＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）是增函数．
由（1）知f（x）在[4，8]上是增函数
∴f（x）_max=f（8）=，f（x）_min=f（4）=5．
∴f（x）在[4，8]上的值域为[5，]．
分析：（1）由可求得其定义域；
（2）由奇函数的定义f（-x）=-x-=-（x+）=-f（x），可判断f（x）为奇函数；
（3）利用单调函数的定义，设2＜x₁＜x₂，作差f（x₁）-f（x₂）化积判断符号即可．
点评：本题考查奇偶性与单调性的综合，着重考查函数的奇偶性与单调性的定义及其应用，突出转化思想的运用，属于中档题．