Question

已知直线l：y=kx-1与圆C：（x-1）²+y²=1相交于P、Q两点，点M（0，b）满足MP⊥MQ．
（Ⅰ）当b=0时，求实数k的值；
（Ⅱ）当b∈(-

1

2

，1)时，求实数k的取值范围；
（Ⅲ）设A、B是圆C：（x-1）²+y²=1上两点，且满足|OA|•|OB|=1，试问：是否存在一个定圆S，使直线AB恒与圆S相切．

Answer 1

分析：（I）当b=0时，M点即为原点，根据圆C的方程：（x-1）²+y²=1，原点（M点）落在圆上，若MP⊥MQ，则PQ为圆C：（x-1）²+y²=1直径，将圆心坐标代入直线方程，即可求出实数k的值；
（Ⅱ）根据P、Q两点在直线l：y=kx-1上，设出P，Q两点的坐标为（X₁，kX₁-1），（X₂，kX₂-1），联立方程后可以将方程看作是关于x的一元二次方程，根据韦达定理，可将MP⊥MQ转化为一个k与b的关系式，根据 b∈(-

1

2

，1)时，即可得到实数k的取值范围．
（Ⅲ）设AB：x=ky+λ，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），进而根据|OA|•|OB|=1，求得y₂•y₁，进而把直线与圆方程联立，求得y₂•y₁，进而根据原点O到直线AB距离求得d，进而判断出直线AB恒与圆 S：x2+y2=

1

4

相切．

解答：解：（Ⅰ）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由题设条件可得x₁x₂+y₁y₂=0，将y=kx-1代入圆C：（x-1）²+y²=1得（1+k²）x²-2（1+k）x+1=0，
故有x1+x2=

2+2k

1+k2

，x1x2=

1

1+k2

，
又y₁y₂=（kx₁-1）（kx₂-1）=k²x₁x₂-k（x₁+x₂）+1=

k2

1+k2

-

2k+2k2

1+k2

+1=

1-2k

1+k2

∴

1-2k

1+k2

+

1

1+k2

=0，得k=1；
（Ⅱ）设P，Q两点的坐标为（X₁，kX₁-1），（X₂，kX₂-1）
则由圆C：（x-1）²+y²=1及直线l：y=kx-1
得（k²+1）x²-2（k+1）x+1=0
则X₁•X₂=

1

k2+1

，X₁+X₂=

2(k+1)

k2+1

则

MP

=（X₁，kX₁-1-b），

MQ

=（X₂，kX₂-1-b）
由MP⊥MQ则
X₁•X₂+（kX₁-1-b）•（kX₂-1-b）=0
即

2k2+2k

k2+1

=(b+1)+

1

(b+1)

∵b∈(-

1

2

，1)，∴

1

2

＜b+1＜2，
∴

2k2+2k

k2+1

=(b+1)+

1

(b+1)

∈[2，

5

2

）
解得k≥1，
故实数k的取值范围[1，+∞）
（Ⅲ）∵圆C的方程为（x-1）²+y²=1
设AB：x=ky+λ，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由|OA|•|OB|=1 x₁²+y₁²•x₂²+y₂²=1-（x₁-1）²+y₁²•1-（x₂-1）²+y₂²=2x₁•2x₂=1?x₁x₂=

1

4

又∵

(x-1)2+y2=1 x=ky+1

?（k²+1）x²+2（kλ-1）y+λ²=0，
∴x1x2=

λ2

k2+1

=

1

4

?

|λ|

k2+1

=

1

2

，
又原点O到直线AB距离 d=

|λ|

1+k2

∴d=

1

2

，即原点O到直线AB的距离恒为 d=

1

2

∴直线AB恒与圆 S：x2+y2=

1

4

相切．

点评：本题考查的知识点是直线与圆相交的性质，直线与圆的综合应用，（II）中应用的方法--“联立方程”+“设而不求”+“韦达定理”是解答直线与圆锥曲线（包括圆）的综合问题的常用方法，是解答高考压轴题的关键．属难题．