Question

如图，AD平面ABC，AD∥CE，AC=AD=AB=1，∠BAC=90°，凸多面体ABCED的体积为，F为BC的中点.

（Ⅰ）求证：AF∥平面BDE；

（Ⅱ）求证：平面BDE平面BCE.

Answer 1

（Ⅰ）证明：∵AD⊥平面ABC，AC面ABC，AB面ABC，

               ∴AD⊥AC，AD⊥AB，

               ∵AD∥CE，∴CE⊥AC

∴四边形ACED为直角梯形.……………（1分）

又∵∠BAC=90°，∴AB⊥AC，∴AB⊥面ACED.

………………（2分）

  ∴凸多面体ABCED的体积

 

求得CE=2.……………………………………………………（3分）

               取BE的中点G，连结GF，GD，

               则GF∥EC，GFCE=1，

               ∴GF∥AD，GF=AD，四边形ADGF为平行四边形，

               ∴AF∥DG.………………………………………………………（5分）

             又∵GD面BDE，AF面BDE，

               ∴AF∥平面BDE.………………………………………………（7分）

  （Ⅱ）证明：∵AB=AC，F为BC的中点，

              ∴AF⊥BC.………………………………………………………（8分）

            由（Ⅰ）知AD⊥平面ABC，AD∥GF，∴GF⊥面ABC.

            ∵AF面ABC，∴AF⊥GF. ……………………………………（9分）

        又BCGF=F，∴AF⊥面BCE.…………………………………（10分）

            又∵DG∥AF，∴DG⊥面BCE.……………………………（11分）

            ∵DG面BDE，∴面BDE⊥面BCE