Question

（2011•遂宁二模）已知各项均为正数的数列{a_n}的前n项和S_n满足S₁＞1，且6S_n=（a_n+1）（a_n+2），n∈N^*．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）设数列{b_n}满足an(2bn-1)=1，记T_n为数列{b_n}的前n项和．求证：2T_n+1＜log₂（a_n+3）

Answer 1

分析：（I）n=1时，6a₁=a₁²+3a₁+2，且a₁＞1，解得a₁=2．n≥2时，6S_n=a_n²+3a_n+2，6S_n-1=a_n-1²+3a_n-1+2，两式相减得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-3）=0由此能求出a_n．
（II）根据数列{b_n}满足an(2bn-1)=1，可得bn=log2

3n

3n-1

，从而T_n=b₁+b₂+…+b_n=log2(

3

2

×

6

5

×…×

3n

3n-1

)，利用分析法证明．要证2T_n+1＜log₂（a_n+3），即证2log2(

3

2

×

6

5

×…×

3n

3n-1

)+1＜log₂（a_n+3），即证

2( 3 2 × 6 5 ×…× 3n 3n-1 )2

3n+2

＜1，构造函数cn=

2( 3 2 × 6 5 ×…× 3n 3n-1 )2

3n+2

，可得{c_n}是单调递减数列，即可证出结论．

解答：（I）解：n=1时，6a₁=a₁²+3a₁+2，且a₁＞1，解得a₁=2．
n≥2时，6S_n=a_n²+3a_n+2，6S_n-1=a_n-1²+3a_n-1+2，两式相减得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-3）=0，
∵a_n+a_n-1＞0，
∴a_n-a_n-1=3，
∴{a_n}为等差数列，
∵a₁=2，
∴a_n=3n-1．
（II）证明：∵数列{b_n}满足an(2bn-1)=1，
∴bn=log2

3n

3n-1

∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=log2(

3

2

×

6

5

×…×

3n

3n-1

)
要证2T_n+1＜log₂（a_n+3），即证2log2(

3

2

×

6

5

×…×

3n

3n-1

)+1＜log₂（a_n+3）
即证(

3

2

×

6

5

×…×

3n

3n-1

)2＜

3n+2

2

即证

2( 3 2 × 6 5 ×…× 3n 3n-1 )2

3n+2

＜1
令cn=

2( 3 2 × 6 5 ×…× 3n 3n-1 )2

3n+2

，
∴

cn+1

cn

=

9n2+18n+9

9n2+21n+10

＜1
∵c_n＞0，∴c_n+1＜c_n，
∴{c_n}是单调递减数列
∴cn≤c1=

2×( 3 2 )2

3×1+2

=

9

10

＜1
∴cn=

2( 3 2 × 6 5 ×…× 3n 3n-1 )2

3n+2

＜1
故2T_n+1＜log₂（a_n+3）．

点评：本题考查数列的综合应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．