Question

对于在区间[m，n]上有意义的两个函数f（x）与g（x），如果对任意的x∈[m，n]，均有|f（x）-g（x）|≤1，则称f（x）与g（x）在[m，n]上是接近的，否则称f（x）与g（x）在[m，n]上是非接近的．现有两个函数f₁（x）=log_a（x-2a）与f2(x)=loga

1

x-a

，（a＞0，且a≠1），给定区间[a+1，a+2]
（1）若f₁（x）与f₂（x）在区间[a+1，a+2]上都有意义，求a的取值范围；
（2）在（1）的条件下，讨论f₁（x）与f₂（x）在区间[a+1，a+2]上是否是接近的．

Answer 1

分析：（1）根据f₁（x）与f₂（x）在区间[a+1，a+2]上都有意义，利用对数函数成立的条件即可求a的取值范围；
（2）根据函数接近的定义进行判断即可．

解答：解：（1）若f₁（x）与f₂（x）在区间[a+1，a+2]上都有意义，
则

a+1-2a＞0 a+2-2a＞0 a+1-a＞0 a+2-a＞0

，即

a＜1 a＜2

，
∴0＜a＜1
∴a的取值范围是（0，1）．
（2）设m（x）=f₁（x）-f₂（x）=log_a（x-2a）-loga

1

x-a

=log_a[（x-2a）（x-a）]，
若m（x）=f₁（x）-f₂（x）在区间[a+1，a+2]上是接近的，
则|log_a[（x-2a）（x-a）]|≤1，即a≤（x-2a）（x-a）≤

1

a

，
∵0＜a＜1
∴a＜2a＜a+1＜a+2，
∴y=（x-2a）（x-a）在[a+1，a+2]上单调递增，y_max=4-2a，y_min=1-a，
∴满足

1-a≥a 4-2a≤ 1 a

，
即

a≤ 1 2 a≥ 2+ 2 2 或a≤ 2- 2 2

，
∴0＜a≤

2- 2

2

，
即当0＜a≤

2- 2

2

时，f₁（x）与f₂（x）在区间[a+1，a+2]上是接近的，
当

2- 2

2

＜a＜1时，f₁（x）与f₂（x）在区间[a+1，a+2]上不接近．

点评：本题考查对数函数的性质和应用，解题时要注意函数恒成立的充要条件的合理运用．综合性较强，难度较大．