Question

【题目】如图，设抛物线的准线与轴交于椭圆的右焦点，为左焦点，椭圆的离心率为，抛物线与椭圆交于轴上方一点，连接并延长交于点为上一动点，且在之间移动.

（1）当取最小值时，求和的方程；

（2）若的边长恰好是三个连接的自然数，求面积的最大值.

Answer 1

【答案】(1)，.(2).

【解析】分析：（1）用表示出，根据基本不等式得出的值，从而得出的方程；

（2）用表示出椭圆的方程，联立方程组得出P点坐标，计算出的三边关于的式子，从而确定的值，求出的距离和M到直线PQ的距离，利用二次函数性质得出三角形面积的最大值.

详解：（1）因为，，

则，，

所以取最小值时，

此时抛物线，此时，

所以椭圆的方程为.

（2）因为，，则，，

设椭圆的标准方程为，，，

由，得，

所以或（舍去），

代入抛物线方程得，

即，

于是，，

又的边长恰好是三个连续的自然数，

所以，此时抛物线方程为，

则直线的方程为，

联立，得或（舍去）

于是.

所以，

设到直线的距离为，

则

当时，，

所以的面积最大值为.