Question

设函数f(x)=p(x-

1

x

)-2lnx，g(x)=

2e

x

．（p是实数，e是自然对数的底数）
（1）若直线l与函数f（x），g（x）的图象都相切，且与函数f（x）的图象相切于点（1，0），求p的值；
（2）若f（x）在其定义域内为单调函数，求p的取值范围；
（3）若在[1，e]上至少存在一点x₀，使得f（x₀）＞g（x₀）成立，求p的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由“函数f（x）的图象相切于点（1，0）求得切线l的方程，再由“l与g（x）图象相切”得到（p-1）x²-（p-1）x-e=0由判别式求解即可．
（2）求导f’（x）=

px2-2x+p

x2

，要使“f（x）为单调增函数”，转化为“f’（x）≥0恒成立”，再转化为“p≥

2x

x2+1

=

2

x+ 1 x

恒成立”，由最值法求解．同理，要使“f（x）为单调减函数”，转化为“f’（x）≤0恒成立”，再转化为“p≤

2x

x2+1

=

2

x+ 1 x

恒成立”，由最值法求解，最后两个结果取并集．
（3）因为“在[1，e]上至少存在一点x₀，使得f（x₀）＞g（x₀）成立”，要转化为“f（x）_max＞g（x）_min”解决，易知g（x）=

2e

x

在[1，e]上为减函数，所以g（x）∈[2，2e]，①当p≤0时，f（x）在[1，e]上递减；②当p≥1时，f（x）在[1，e]上递增；③当0＜p＜1时，两者作差比较．

解答：解：（1）∵f′（x）=p+

p

x2

-

2

x

，∴f’（1）=2（p-1），设直线l：y=2（p-1）（x-1），
∵l与g（x）图象相切，∴y=2（p-1）（x-1），得（p-1）（x-1）=

e

x

，即（p-1）x²-（p-1）x-e=0，y=

2e

x

当p=1时，方程无解；当p≠1时由△=（p-1）²-4（p-1）（-e）=0，
得p=1-4e，综上，p=1-4e
（2）f’（x）=

px2-2x+p

x2

，要使“f（x）为单调增函数”，转化为“f’（x）≥0恒成立”，即p≥

2x

x2+1

=

2

x+ 1 x

恒成立，又

2

x+ 1 x

≤1，所以当p≥1时，f（x）在（0，+∞）为单调增函数．
同理，要使“f（x）为单调减函数”，转化为“f’（x）≤0恒成立，再转化为“p≤

2x

x2+1

=

2

x+ 1 x

恒成立”，又

2

x+ 1 x

＞0，所以当p≤0时，f（x）在（0，+∞）为单调减函数．
综上所述，f（x）在（0，+∞）为单调函数，p的取值范围为p≥1或p≤0
（3）因g（x）=

2e

x

在[1，e]上为减函数，所以g（x）∈[2，2e]
①当p≤0时，由（1）知f（x）在[1，e]上递减⇒f（x）_max=f（1）=0＜2，不合题意
②当p≥1时，由（1）知f（x）在[1，e]上递增，f（1）＜2，又g（x）在[1，e]上为减函数，
故只需f（x）_max＞g（x）_min，x∈[1，e]，
即：f（e）=p（e-

1

e

）-2lne＞2⇒p＞

4e

e2-1

．
③当0＜p＜1时，因x-

1

x

≥0，x∈[1，e]
所以f（x）=p（x-

1

x

）-2lnx≤（x-

1

x

）-2lnx＜2，不合题意
综上，p的取值范围为（

4e

e2-1

，+∞）

点评：本题主要考查用导数法研究函数的单调性，基本思路是：当函数为增函数时，导数大于等于零；当函数为减函数时，导数小于等于零，已知单调性求参数的范围往往转化为求相应函数的最值问题．