Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的右焦点为F（1，0），离心率为．分别过O，F的两条弦AB，CD相交于点E（异于A，C两点），且OE=EF．
（1）求椭圆的方程；
（2）求证：直线AC，BD的斜率之和为定值．

Answer 1

解：（1）由题意，得c=1，，
故，可得b²=a²-c²=1，
∴椭圆的方程为． ①…（5分）
（2）证明：设直线AB的方程为y=kx，②
直线CD的方程为y=-k（x-1），③…（7分）
由①②联解，得点A的横坐标为，点B的横坐标为，
同理，联解①③，得点C的横坐标为，D的横坐标为…（9分）
记A（x₁，kx₁），B（x₂，kx₂），C（x₃，k（1-x₃）），D（x₄，k（1-x₄）），
因此，直线AC，BD的斜率之和为

=
=…（13分）
==0．
即直线AC，BD的斜率之和为0（定值） …（16分）
分析：（1）根据题意，建立关于a、c的方程组，解之可得且c=1，再用平方关系算出b²=1，即可得到椭圆的方程；
（2）设直线AB的方程为y=kx，与椭圆方程联解可得A的横坐标为，点B的横坐标为，同理得到点C、D的横坐标关于k的式子，由此结合直线的斜率公式化简整理，即可算出直线AC，BD的斜率之和为0，从而证出所求证的命题是真命题．
点评：本题给出椭圆方程，求证分别经过O、F的两条直线AB、CD在满足倾角互补的情况下，直线AC、BD斜率之和为定值．着重考查了椭圆的简单几何性质和直线与椭圆的位置关系等知识，属于中档题．