Question

已知动圆P过点N（2，0）并且与圆M：（x+2）²+y²=4相外切，动圆圆心P的轨迹为W，过点N的直线l与轨迹W交于A、B两点．
（1）求轨迹W的方程；
（2）若2=，求直线l的方程；
（3）对于l的任意一确定的位置，在直线x=上是否存在一点Q，使得•=0，并说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据题意可推断出|PM|-|PN|=2＜|MN|=4进而利用双曲线的定义可知点P的轨迹W是以M、N为焦点的双曲线的右支，设出其标准方程，依题意求得a和c，则b可求，进而求得双曲线的方程．
（2）设出l的方程与双曲线方程联立，进而利用2=求得x₂和x₁的关系式，代入方程入①②求得k，则直线的方程可得．
（3）问题可转化为判断以AB为直径的圆是否与直线x=有公共点，先看直线l的斜率不存在，则以AB为直径的圆为（x-2）²+y²=9，可知其与直线x=相交；再看斜率存在时设出直线的方程，利用焦点坐标和离心率求得|AB|的表达式，设以AB为直径的圆的圆心为S，点S到直径x=的距离为d，则d可求，d-判断出结果小于0，推断出d＜，进而可知直线x=与圆S相交，最后综合可得答案．
解答：解：（1）依题意可知|PM|=|PN|+2∴|PM|-|PN|=2＜|MN|=4，
∴点P的轨迹W是以M、N为焦点的双曲线的右支，设其方程为-=1（a＞0，b＞0）则a=1，c=2，
∴b²=c²-a²=3，∴轨迹W的方程为=1，（x≥1）．
（2）当l的斜率不存在时，显然不满足2=，故l的斜率存在，设l的方程为y=k（x-2），
由得（3-k²）x²+4k²x-4k²-3=0，又设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则
由①②③解得k²＞3，∵2=∴2（2-x₁，-y₁）=（x₂-2，y₂）
∴x₂=6-2x₁代入①②得=6-x₁，=x₁（6-2x₁）
消去x₁得k²=35，即k=±，故所求直线l的方程为：y=±（x-2）；
（3）问题等价于判断以AB为直径的圆是否与直线x=有公共点
若直线l的斜率不存在，则以AB为直径的圆为（x-2）²+y²=9，可知其与直线x=相交；若直线l的斜率存在，则设直线l的方程为y=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由（2）知k²＞3且x₁+x₂=，又N（2，0）为双曲线的右焦点，双曲线的离心率e=2，
则|AB|=e（x₁+x₂）-2a=2×-2=
设以AB为直径的圆的圆心为S，点S到直径x=的距离为d，则d=-=-=
∴d-=-=-
∵k²＞3∴d-＜0即d＜，即直线x=与圆S相交．
综上所述，以线段AB为直径的圆与直线x=相交；
故对于l的任意一确定的位置，与直线x=上存在一点Q（实际上存在两点）使得•=0
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生分析问题和解决问题的能力．