Question

【题目】是正四面体的面内一动点，为棱中点，记与平面成角为定值，若点的轨迹为一段抛物线，则（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】B

【解析】

设正四面体的棱长为，建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，求出面的法向量，设的坐标，求出向量，求出线面所成角的正弦值，再由角的范围，结合为定值，得出为定值，且的轨迹为一段抛物线，所以求出坐标的关系，进而求出正切值．

由题意设四面体的棱长为，设为的中点，

以为坐标原点，以为轴，以为轴，过垂直于面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则可得，，取的三等分点、如图，

则，，，，

所以、、、、，

由题意设，，

和都是等边三角形，为的中点，，，

，平面，为平面的一个法向量，

因为与平面所成角为定值，则，

由题意可得，

因为的轨迹为一段抛物线且为定值，则也为定值，

，可得，此时，则，.

故选：B.