Question

方程lg（x-a）=2（lgx-lg3）至少有一个实数根的充要条件是

a≤

9

4

．

Answer 1

分析：先将已知方程等价变形，得到x大于0且有方程a=-

x2

9

+x成立，讨论右边的二次函数最值，得到-

x2

9

+x≤

9

4

，从而得到充要条件为a≤

9

4

．再进行正反论证，说明充分性和必要性都成立．

解答：解：方程lg（x-a）=2（lgx-lg3）等价于lg（x-a）=lg(

x

3

) 2
即：

x＞0 x-a＞0 x-a=( x 3 ) 2

⇒

x＞0 x＞a a=- x2 9 +x

…（*）
而F（x）=-

x2

9

+x在（0，+∞）的最大值为F（

9

2

）=

9

4

∴F（x）的值域为（-∞，

9

4

]
接下来讨论充分性和必要性
①充分性：若方程lg（x-a）=2（lgx-lg3）至少有一个实数根，说明（*）式至少有一个实数解
∴a应该落在F（x）=-

x2

9

+x在（0，+∞）的值域范围内，可得a≤

9

4

②必要性：若a≤

9

4

，说明a∈（-∞，

9

4

]，落在F（x）=-

x2

9

+x在（0，+∞）的值域范围内，
∴（*）式至少有一个实数解，从而方程lg（x-a）=2（lgx-lg3）至少有一个实数根．
综上所述，方程lg（x-a）=2（lgx-lg3）至少有一个实数根的充要条件是a≤

9

4

故答案为：a≤

9

4

点评：本题以含有对数的方程为载体，考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断和根的存在性及根的个数判断等知识点，属于中档题．