Question

下列说法正确的是：
①?x∈N⁺，（x-1）²＞0     ②

a

•

b

=

a

•

c

，则

b

=

c

③函数f（x）=sinx在第一象限内是增函数．
④“m＜

1

4

”是“一元二次方程x²+x+m=0”有实数解的充分不必要条件．
⑤函数f（x）=2^x+3x的零点所在的一个区间是（-1，0）．其中正确的序号是

④⑤

．

Answer 1

分析：x=1时，命题不成立，故①错误；

a

=

0

时，显然不成立；利用函数的单调性定义，易判断③的对错；利用二次方程的解的情况取决于判别式，令判别式大于等于0求出m的范围即后面的条件；判断前者成立是否能推出后者成立；反之后者成立能否推出前者，易判断④的对错；⑤函数零点左右两边函数值的符号相反，根据函数在一个区间上两个端点的函数值的符号确定是否存在零点．故⑤正确

解答：解：x=1时，命题不成立，故①错误；

a

=

0

时，显然不成立；第一象限的角是无数个不连续的区间构成，由函数单调性的定义，易得③错误；，∵一元二次方程x²+x+m=0，m∈R有实数解∴△=1-4m≥0，解得m≤

1

4

，若m

1

4

成立能推出 m ≤

1

4

成立；反之当 m ≤

1

4

成立推不出 m＜

1

4

故④正确；⑤由f(-1)=

1

2

-3＜0，f(0)=1＞0及零点定理知f（x）的零点在区间（-1，0）上，∴零点所在的一个区间是（a-1，a）是（-1，0）
故答案为④⑤

点评：本题主要考查函数零点的概念与零点定理的应用，本题的解题的关键是检验函数值的符号，考查二次方程的根的情况取决于判别式的符号、考查如何判断一个命题是另一个命题的什么条件，考查函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题．