Question

已知三次函数f(x)的导函数为f′(x),且f′(1)=0,f′(2)=3,f′(3)=12.

（1）求f(x)-f(0)的表达式；

（2）若对任意的x∈［-1,4］,都有f(x)＞f′(x)成立，求f(0)的取值范围.

Answer 1

解：（1）设f(x)=ax³+bx²+cx+d,则f′(x)=3ax²+2bx+c.

∴即

∴f(x)-f(0)=x³-3x²+3x.

（2）f′(x)=3x²-6x+3.对任意的x∈［-1,4］,f(x)＞f′(x)f(x)-f′(x)=x³-?6x²+9x+f(0)-3＞0f(0)＞F(x)=-x³+6x²-9x+3.

∵F′(x)=-3x²+12x-9,

当x∈?［-1,?1)时，F′(x)＜0;

当x=1或3时，F′(x)=0,当x∈(1,3)时，F′(x)＞0;

当x∈(3,4］时，F′(x)＜0,又F（-1）＞F(3),F(-1)＞F(1),F(-1)＞F(4).

∴F(x)在［-1，4］上的最大值为F（-1）=19，f(0)的取值范围是（19，+∞）.