Question

【题目】已知函数f(x)＝，若数列{an}(n∈N*)满足：a1＝1，an＋1＝f(an)．

(1)证明数列{}为等差数列，并求数列{an}的通项公式．

(2)设数列{cn}满足：cn＝，求数列{cn}的前n项的和Sn.

Answer 1

【答案】(1) 见解析(2) Sn＝(n－1)2n＋1＋2.

【解析】试题分析：（1）先根据函数解析式得数列递推关系，再取倒数得到{}递推关系，根据等差数列定义可判断为等差数列，根据等差数列通项公式求得，再取倒数得数列{an}的通项公式．（2）根据错位相减法求数列{cn}的前n项的和，注意相减时符号变化，求和时项数得确定，最后不要忘记除以1-q

试题解析：(1)因为f(x)＝，所以an＋1＝f(an)＝，

所以－＝1，{}是等差数列，

an＝.

(2)cn＝n·2n，

所以Sn＝1×2＋2×22＋…＋n·2n，

2Sn＝1×22＋2×23＋…＋(n－1)2n＋n·2n＋1，

所以2Sn－Sn＝Sn＝－2－22－23…－2n＋n·2n＋1

＝ (n－1)2n＋1＋2.

所以Sn＝(n－1)2n＋1＋2.