Question

设函数f（x）在（-3，3）上是奇函数，且对任意x，y，都有f（x）-f（y）=f（x-y），当x＜0时，f（x）＞0，f（1）=-2．
（1）求f（2）的值；
（2）若函数g（x）=f（x-1）+f（3-2x），求不等式g（x）≤0的解集．

Answer 1

分析：（1）利用已知f（1）=-2，将恒等式进行赋值，令x=2，y=1，代入即可求得f（2）的值；
（2）根据单调性的定义和恒等式证明函数f（x）为（-3，3）上的单调减函数，再将不等式利用恒等式和奇函数转化为f（x-1）≤f（2x-3），然后利用f（x）在（-3，3）上单调递减，列出不等式组，求之即可解得不等式的解集．

解答：解：（1）∵f（x）-f（y）=f（x-y），
令x=2，y=1，则f（2）-f（1）=f（1），又f（1）=-2，
∴f（2）=2f（1）=-4；
（2）设-3＜x₁＜x₂＜3，则x₁-x₂＜0，
∵x＜0时，f（x）＞0，则f（x₁-x₂）＞0，
∵f（x）-f（y）=f（x-y），
∴f（x₁）-f（x₂）=f（x₁-x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（-3，3）上是单调递减函数．
∵g（x）=f（x-1）+f（3-2x），
∴g（x）≤0，即f（x-1）+f（3-2x）≤0，即f（x-1）≤-f（3-2x），
又∵f（x）在（-3，3）上是奇函数，则-f（3-2x）=f（2x-3），
∴不等式等价转化为f（x-1）≤f（2x-3），
又∵f（x）在（-3，3）上是单调递减函数，
∴

-3＜x-1＜3 -3＜3-2x＜3 x-1≥2x-3

，解得，0＜x≤2，
∴不等式g（x）≤0的解集为{x|0＜x≤2}．

点评：本题考点是抽象函数及其应用，以及灵活利用所给的恒等式证明函数的单调性，考查了利用函数的单调性求解函数的不等式的解集，注意转化不等式的时候要等价转化．此类题要求答题者有较高的数学思辨能力，能从所给的条件中寻找到解题的关键点．属于中档题．