Question

已知函数f(x)=

ex

a

+

a

ex

(a＞0)是定义在R上的偶函数．
（1）求a的值；
（2）判断并用单调性定义证明函数f（x）在（0，+∞）上的单调性；
（3）求不等式f（x²-x+2）-f（4x-2）＞0的解集．

Answer 1

分析：（1）利用函数是偶函数，建立方程f（-x）=f（x），即可求a．（2）利用函数单调性的定义进行证明．（3）利用函数奇偶性和单调性的关系进行求解．

解答：解：（1）若函数f(x)=

ex

a

+

a

ex

(a＞0)是定义在R上的偶函数．
∴f（-x）=f（x），即

e-x

a

+

a

e-x

=

ex

a

+

a

ex

，
整理得e^-x-e^x=a²e^-x-a²e^x，
则

a2=1 -a2=-1

，
∴a²=1，解得a=1或a=-1（舍去）．
（2）由（1）知a=1，则f（x）=e^x+e^-x在（0，+∞）上的是增函数．
证明：任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
则f(x1)-f(x2)=ex1+e-x1-(ex2+e-x2)=ex1-ex2+e-x1-e-x2=(ex1-ex2)+

ex2-ex1

ex1?ex2

=(ex1-ex2)?

ex1?ex2-1

ex1?ex2

，
∵0＜x₁＜x₂，
∴ex11，
∴ex1-ex20，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．
（3）由f（x²-x+2）-f（4x-2）＞0得f（x²-x+2）＞f（4x-2），
∵x²-x+2=（x-1）²+1＞0，函数f（x）是定义在R上的偶函数．
∴不等式f（x²-x+2）＞f（4x-2），
等价为f（x²-x+2）＞f（|4x-2|），
即x²-x+2＞|4x-2|，
∴当4x-2≥0时，即x≥

1

2

时，x²-x+2＞4x-2，即x²-5x+4＞0，解得x＞4或x＜1，此时x＞4．
当4x-2＜0时，即x＜

1

2

时，x²-x+2＞-（4x-2），即x²-3x＞0，解得x＞3或x＜0，此时x＜0．
综上不等式的解为x＞4或x＜0．
∴不等式的解集为{x|x＞4或x＜0}．

点评：本题主要考查函数奇偶性的判断，函数单调性的证明，以及利用函数的单调性和奇偶性解不等式，综合性较强，考查学生的运算能力．