Question

已知直线l:x=m(m<-2)与x轴交于A点,动圆M与直线l相切,并且与圆O:x²+y²=4相外切,

(1)求动圆的圆心M的轨迹C的方程;

(2)若过原点且倾斜角为的直线与曲线C交于M、N两点,问是否存在以MN为直径的圆经过点A?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.

Answer 1

m=-6-2时,以MN为直径的圆恰好过点A.

解析:

(1)设动圆圆心为M(x,y),则

|OM|==2+(x-m),

化简得y²=2(2-m)x+(2-m)²(m<-2),这就是动圆圆心的轨迹C的方程.

(2)直线MN的方程为y=x,代入曲线C的方程得3x²-2(2-m)x-(2-m)²=0,

显然Δ=16(2-m)²>0.

设M(x₁,y₁)、N(x₂,y₂),则x₁+x₂=(2-m),x₁x₂=-(2-m)²,

而y₁y₂=x₁·x₂=3x₁x₂,

若以MN为直径的圆过点A,则AM⊥AN,

∴k_AM·k_AN=-1.

由此得4x₁x₂-m(x₁+x₂)+m²=0.

∴-(2-m)²-m··(2-m)+m²=0,即m²+12m-16=0.

解得m₁=-6-2,m₂=-6+2(舍).

故当m=-6-2时,以MN为直径的圆恰好过点A.