Question

（2012•江苏一模）设数列{a_n}的各项均为正数．若对任意的n∈N₊，存在k∈N₊，使得

a

2 n+k

=a_n•a_n+2k成立，则称数列为“J_k型”数列．
（1）若数列{a_n}是“J₂”型数列，且a₂=8，a₈=1，求a_2n；
（2）若数列{a_n}既是“J₃”型数列，又是“J₄”型数列，证明：数列{a_n}是等比数列．

Answer 1

分析：（1）利用数列{a_n}是“J₂”型数列，可得数列{a_n}的奇数项、偶数项分别组成等比数列，根据a₂=8，a₈=1，求出数列的公比，即可得到通项；
（2）由题设知，当n≥8时，a_n-6，a_n-3，a_n，a_n+3，a_n+6成等比数列；a_n-6，a_n-2，a_n+2，a_n+6也成等比数列，可得

an+2

an

=

an

an-2

，进而可得

an+1

an

=

an

an-1

，

an+1

an

=q对任意n≥2都成立，由此可得数列{a_n}为等比数列．

解答：解：（1）∵数列{a_n}是“J₂”型数列，
∴

a

2 n+2

=a_n•a_n+4
∴数列{a_n}的奇数项、偶数项分别组成等比数列
设偶数项组成的等比数列的公比为q，
∵a₂=8，a₈=1，∴q3=

1

8

，∴q=

1

2

∴a_2n=8×(

1

2

)n-1=2^4-n；
（2）由题设知，当n≥8时，a_n-6，a_n-3，a_n，a_n+3，a_n+6成等比数列；a_n-6，a_n-2，a_n+2，a_n+6也成等比数列．
从而当n≥8时，a_n²=a_n-3a_n+3=a_n-6a_n+6，（*）且a_n-6a_n+6=a_n-2a_n+2．
所以当n≥8时，a_n²=a_n-2a_n+2，即

an+2

an

=

an

an-2

于是当n≥9时，a_n-3，a_n-1，a_n+1，a_n+3成等比数列，从而a_n-3a_n+3=a_n-1a_n+1，故由（*）式知a_n²=a_n-1a_n+1，
即

an+1

an

=

an

an-1

．
当n≥9时，设q=

an

an-1

，当2≤m≤9时，m+6≥8，从而由（*）式知a_m+6²=a_ma_m+12，
故a_m+7²=a_m+1a_m+13，从而

am+72

am+62

=

am+1am+13

amam+12

，
于是

am+1

am

=

q2

q

=q．
因此

an+1

an

=q对任意n≥2都成立．
因为a42=a1a7，所以q2•

a2

a1

=

a4

a3

•

a3

a2

•

a2

a1

=

a4

a1

=

a7

a4

=

a7

a6

•

a6

a5

•

a5

a4

=q3，
于是

a2

a1

=q．
故数列{a_n}为等比数列．

点评：本题考查新定义，考查等比数列的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．