精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
设函数f(x)=lg(2x-3)(x-
1
2
)
的定义域为集合A,函数g(x)=
-x2+4ax-3a2
(a>0)的定义域为集合B.
(1)当a=1时,求集合A∩B;
(2)若A∩B=B,求实数a的取值范围.
分析:(1)由函数f(x)=lg(2x-3)(x-
1
2
)
有意义,得A=(-∞,
1
2
)∪(
3
2
,+∞)
,当a=1时,函数g(x)=
-x2+4x-3
有意义,得B={x|1≤x≤3},由此能求出当a=1时集合A∩B.
(2)由函数g(x)=
-x2+4x-3a2
(a>0)有意义得B=[a,3a],由A∩B=B,知B⊆A,由此能求出实数a的取值范围.
解答:解:(1)由函数f(x)=lg(2x-3)(x-
1
2
)
有意义,
得:(2x-3)(x-
1
2
)>0

x<
1
2
x>
3
2

所以A=(-∞,
1
2
)∪(
3
2
,+∞)
,(3分)
当a=1时,函数g(x)=
-x2+4x-3
有意义,
得:-x2+4x-3≥0,
即x2-4x+3≤0,
∴1≤x≤3,∴B={x|1≤x≤3},
A∩B=(
3
2
,3]
(6分)
(2)由函数g(x)=
-x2+4x-3a2
(a>0)有意义得-x2+4x-3a2≥0,
即(x-a)(x-3a)≤0,
∵a>0,∴a≤x≤3a,
∴B=[a,3a],(8分)
若A∩B=B,则B⊆A,(10分)
a>0
3a<
1
2
a>
3
2
,得0<a<
1
6
a>
3
2

a∈(0,
1
6
)∪(
3
2
,+∞)
(12分)
点评:本题考查集合的交集和集合的包含关系的应用,解题时要认真审题,仔细解答,注意等价转化思想的合理运用.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

设函数f(x)=lg(ax)•lg
a
x2

(1)当a=0.1,求f(1000)的值.
(2)若f(10)=10,求a的值;
(3)若对一切正实数x恒有f(x)≤
9
8
,求a的范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

现有下列命题:
①设a,b为正实数,若a2-b2=1,则a-b<1;
②已知a>2b>0,则a2+
8
b(a-2b)
的最小值为16;
③数列{n(n+4)(
2
3
)n}中的最大项是第4项

④设函数f(x)=
lg|x-1|,x≠1
0,x=1
,则关于x的方程f2(x)+2f(x)=0有4个解.
⑤若sinx+siny=
1
3
,则siny-cos2x的最大值是
4
3

其中的真命题有
①②③
①②③
.(写出所有真命题的编号)

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

设函数f(x)=lg(
2
x+1
-1)
的定义域为集合A,函数g(x)=
1-a2-2ax-x2
的定义域为集合B.
(1)求证:函数f(x)的图象关于原点成中心对称.
(2)a≥2是A∩B=Φ的什么条件(充分非必要条件、必要非充分条件、充要条件、既非充分也非必要条件)?并证明你的结论.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

设函数f(x)=lg(x+
x2+1
)

(1)确定函数f(x)的定义域;
(2)判断函数f(x)的奇偶性;
(3)证明函数f(x)在其定义域上是单调增函数.

查看答案和解析>>

同步练习册答案