Question

设函数f(x)=lg(x+

x2+1

)．
（1）确定函数f（x）的定义域；
（2）判断函数f（x）的奇偶性；
（3）证明函数f（x）在其定义域上是单调增函数．

Answer 1

分析：（1）真数恒大于0，可得定义域；
（2）利用奇偶函数的定义可作出判断；
（3）先用增函数的定义证明f（x）在[0，+∞）上递增，然后根据奇函数的性质可得结论；

解答：解：（1）由x+

x2+1

＞0恒成立得函数的定义域为R； 
（2）f（x）为定义域内的奇函数，证明如下：
∵f（-x）=lg(

x2+1

-x)=lg

( x2+1 -x)( x2+1 +x)

x2+1+x

=lg

1

x2+1 +x

=lg(

x2+1

+x)-1=-lg(

x2+1

+x)
=-f（x），
∴f（x）为奇函数．
（3）设x₁，x₂∈[0，+∞）且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=lg(

x12+1

+x1)-lg(

x22+1

+x2)=lg

x 2 1 +1 +x1

x 2 2 +1+x2

，
∵x₁＜x₂，∴

x 2 1 +1

＜

x 2 2 +1

，∴0＜

x 2 1 +1 +x1

x 2 2 +1 +x2

＜1，∴lg

x 2 1 +1 +x1

x 2 2 +1 +x2

＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在[0，+∞）上是增函数．
又∵f（x）是奇函数，∴f（x）在R上是增函数．

点评：本题考查定义域的求解、奇偶性单调性的判断证明，属基础题，定义是解决该类题目的基本方法，要熟练掌握．